Математика на НМТ: відсотки, пропорції та графіки

Задачі на відсотки, пропорції та графіки на НМТ з математики часто сприймають як «легкі бали», але саме тут абітурієнти втрачають найбільше через неуважність. Наприклад, формулу відсотка знають майже всі, однак у тестовому режимі плутають, що саме ділити, а що множити. Інша типова пастка — послідовні зміни ціни чи кількості, коли відсотки намагаються просто додати.

У цьому розборі ви отримаєте практичний алгоритм для трьох основних типів відсоткових задач, навчитеся працювати з прямою та оберненою пропорційністю й читати графіки без зайвих здогадок. Кожен розділ містить приклад і пояснення, чому дія виконується саме так, а також найтиповішу помилку.

Матеріал побудовано як інструкцію: його можна використовувати під час повторення перед тестом, а також для швидкого відновлення навичок у день іспиту.

Чому відсотки, пропорції та графіки варто відпрацювати першими

Цей блок завдань перевіряє базову математичну грамотність, яка закладається ще в 5–6 класах, але активно використовується в старшій школі. У тестах НМТ відсотки можуть бути частиною текстової задачі, пропорції — у розрахунках співвідношень, а графіки — у завданнях на функції чи аналіз даних. Тому опрацювання цих тем дає одразу кілька переваг.

По-перше, це швидкі завдання. Якщо ви чітко знаєте схему, більшість із них розв’язується за одну-дві дії. По-друге, вони рідко вимагають складних обчислень — головне правильно перевести умову в пропорцію чи формулу. По-третє, навички читання графіків допомагають і в інших темах, зокрема у функціях та рівняннях.

Почніть з простих прикладів, щоб закріпити механіку, а потім переходьте до задач із підвищенням чи зниженням відсотків і комбінованих умов.

Відсотки: три базові схеми

Будь-яку задачу на відсотки можна звести до одного співвідношення: частина = (відсоток / 100) × ціле. Важливо лише правильно визначити, яка з трьох величин невідома — частина, ціле або сам відсоток. Це і визначає схему розв’язування.

Знайти відсоток від числа

Тут відомі ціле число й кількість відсотків, а знайти треба частину. Формула: частина = (p / 100) × N, де p — відсоток, N — ціле. Наприклад, 15% від 240 обчислюємо так: (15 / 100) × 240 = 0,15 × 240 = 36. Перетворення на десятковий дріб відбувається діленням відсотка на 100.

Типова помилка — множити саме число на відсоток без ділення на 100, тобто 240 × 15 = 3600. Це неправильно, бо відсоток — це сота частка. Щоб швидко рахувати усно, можна спочатку знайти 10% (поділити число на 10), а потім узяти половину чи іншу зручну частку.

Знайти число за його відсотком

Коли відомо, що деяка частина становить p відсотків, а треба знайти ціле, формулу перевертаємо: N = частина / (p / 100). Наприклад, якщо 12% деякого числа дорівнюють 48, то N = 48 / (12 / 100) = 48 / 0,12 = 400. Перевірка: 12% від 400 справді 48.

Тут найчастіше помилково множать: 48 × 12 / 100 = 5,76. Отримане значення значно менше за частину, що суперечить здоровому глузду: якщо 12% — це 48, то ціле має бути більшим за 48. Таку перевірку варто робити після кожного обчислення.

Знайти відсоткове відношення

У такій задачі відомі частина й ціле, а знайти треба, скільки відсотків становить частина від цілого. Формула: p = (частина / N) × 100%. Наприклад, 36 від 120 — це (36 / 120) × 100% = 30%. Тут множення на 100 обов’язкове, бо результат спочатку отримуємо в десятковому дробі 0,3.

Щоб узагальнити схеми, зручно користуватися таблицею:

Пряма та обернена пропорційність у відсотках

Окремий практичний прийом — розв’язувати відсоткові задачі через пропорцію. Наприклад, якщо 20% — це 30, а треба знайти 100%, записуємо: 20/100 = 30/x, звідки 20x = 3000, x = 150. Це повністю збігається з формулою цілого.

Проте при послідовних змінах відсотків метод пропорції може заплутати, тому далі розглянемо коефіцієнтний підхід.

Відсоткові зміни: зростання, зниження, складні відсотки

Коли величину збільшують на p відсотків, її нове значення дорівнює N × (1 + p/100), а коли зменшують — N × (1 - p/100). Наприклад, збільшення на 20% означає множення на 1,2, а зменшення на 20% — на 0,8. Це дозволяє швидко моделювати будь-яку одноразову зміну.

Найпоширеніша помилка — додавати відсотки при послідовних змінах. Розглянемо: ціну 200 грн спочатку знизили на 20%, а потім підвищили на 30%. Якщо просто додати, вийде +10%, тобто 220 грн. Насправді ж: після зниження маємо 200 × 0,8 = 160, а після підвищення 160 × 1,3 = 208. Результат відрізняється, бо друге відсоткове нарахування відбувається вже на нову базу.

Для кількох послідовних змін використовують добуток коефіцієнтів: N × k1 × k2 × ..., де k — множник для кожної зміни. У тому ж прикладі це 200 × 0,8 × 1,3 = 208. Важливо стежити, щоб кожен відсоток рахувався від значення після попередньої зміни.

Ще одна класична пастка: якщо ціну знизили на 20%, то для повернення до початкової треба підвищення не на 20%, а на 25%. Перевірка: після зниження залишилося 0,8 від початкового. Щоб отримати 1, розв’язуємо 0,8 × x = 1, звідки x = 1,25, тобто +25%. У тестах це часто формулюють як «на скільки відсотків треба збільшити знижену ціну, щоб повернутися до початкової?».

Окремий випадок — складні відсотки, коли відсоток нараховується на попереднє значення кілька разів. Формула: A = P × (1 + r/100)^n, де P — початкове значення, r — відсоток зміни за один період, n — кількість періодів. Наприклад, якщо кількість учнів у школі зростає на 5% щороку, то за 2 роки при початкових 1000 учнів маємо 1000 × 1,05^2 = 1102,5, тобто орієнтовно 1103 учні. Радимо використовувати формулу, а не покрокове нарахування, якщо періодів більше двох.

Пропорції: прямий та обернений зв’язок

Основна властивість пропорції: якщо a/b = c/d, то a × d = b × c. Це просте правило дозволяє шукати будь-який невідомий член. Наприклад, 3/x = 5/10 перетворюється на 3 × 10 = 5 × x, тому 30 = 5x, x = 6. Головне — правильно записати відповідність між величинами.

Пряма пропорційність виникає, коли зі збільшенням однієї величини друга збільшується в стільки ж разів. У такому разі відношення залишається сталим: y/x = k. Типовий приклад: чим більше купуємо однакових зошитів, тим більша загальна вартість; вартість / кількість = ціна одного зошита.

Обернена пропорційність — це коли зі збільшенням однієї величини друга зменшується в стільки ж разів. Тут сталим є добуток: x × y = k. Класична задача: 4 робітники виконують роботу за 6 годин; за скільки годин виконають ту саму роботу 6 робітників з однаковою продуктивністю? Загальний обсяг роботи 4 × 6 = 24 людино-години. Для 6 робітників час x знаходимо з 6x = 24, тож x = 4 години.

Найчастіша помилка — записувати обернену пропорційність як пряму. Перед складанням пропорції запитайте: якщо одна величина зростає, друга теж зростає чи зменшується? Це допомагає уникнути неправильного добутку. Наприклад, більша швидкість означає менший час руху на тій самій відстані, тому це обернена пропорційність, а не пряма.

Графіки: читаємо умову, а не здогадуємось

Завдання з графіками на НМТ поділяють на два типи: читання готового графіка залежності та робота з графіком функції. В обох випадках найважливіше — не квапитися й чітко зчитати осі та одиниці вимірювання. Часто масштаб по осі може бути не 1, а 0,5 або 2, тому одна клітинка не завжди означає одиницю.

Для готового графіка використовуйте алгоритм: визначте, які величини відкладені по осях; знайдіть потрібну точку; проведіть від неї перпендикуляри до осей; зчитайте значення. Наприклад, якщо на графіку показано залежність температури від часу, і треба знайти, о котрій годині було 10°C, спочатку знайдіть на осі температур позначку 10, потім рухайтеся горизонтально до перетину з графіком, а тоді вертикально вниз до осі часу.

Для функціональних графіків базове завдання — перевірити, чи належить точка графіку, або знайти координати перетину. Якщо дано рівняння y = 2x - 3, то для x = 4 маємо y = 5. На графіку шукаємо точку з координатами (4; 5). Якщо умова просить визначити, коли значення функції більше нуля, потрібно подивитися, на яких проміжках графік розташований вище осі x, і записати відповідні значення аргументу.

Окремо звертайте увагу на нахил лінії в реальних графіках. Що крутіший підйом, то більша швидкість зміни. Наприклад, на графіку відстані від часу крутіша ділянка означає більшу швидкість руху. Але якщо осі мають різний масштаб, порівнювати потрібно за координатами, а не лише візуально. Типова помилка — вважати, що довша лінія завжди означає більшу зміну, хоча насправді важлива різниця значень.

Покроковий алгоритм розв’язування задачі на НМТ

Цю послідовність можна застосовувати до будь-якого завдання з відсотками, пропорціями чи графіками:

1. Уважно прочитайте умову. Підкресліть числа, одиниці вимірювання та питання задачі. Визначте, що саме треба знайти.
2. Визначте тип задачі. Це відсоток від числа, число за відсотком, відсоткове відношення, зміна величини, пряма чи обернена пропорційність, читання графіка?
3. Запишіть відповідне співвідношення. Використайте формулу з таблиці або пропорцію. Якщо зміни послідовні, запишіть добуток коефіцієнтів.
4. Розв’яжіть рівняння. Виконуйте дії по порядку, не заокруглюйте завчасно, краще рахуйте в десяткових дробах.
5. Перевірте результат. Підставте відповідь у вихідну умову або оцініть, чи є вона логічною. Наприклад, від’ємна кількість товару чи відсоток понад 100 там, де всі елементи — частина цілого, вказують на помилку.

Цей алгоритм допомагає не пропускати важливі деталі й суттєво знижує кількість арифметичних помилок. Його можна записати на окремому аркуші під час підготовки, щоб у голові закріпилася чітка послідовність дій.

Типові помилки та як їх уникнути

Навіть сильні учні втрачають бали через кілька повторюваних ситуацій. Найчастіше трапляються такі:

• Додавання відсотків при послідовних змінах. Замість -20% + 30% треба множити коефіцієнти 0,8 × 1,3. Пам’ятайте: кожне нарахування відбувається на нову базу.
• Плутанина між прямою та оберненою пропорційністю. Перевіряйте, що відбувається з другою величиною при зростанні першої.
• Неуважне читання масштабу графіка. Одна клітинка може дорівнювати 0,5; 2; 10. Перш ніж відповідати, обов’язково подивіться на підписи осей.
• Заокруглення на проміжних етапах. У задачах зі складними відсотками або великими числами краще зберігати точні значення до кінцевого кроку, інакше похибка накопичується.
• Неправильний вибір бази відсотка. Завжди уточнюйте, від чого рахується відсоток: від початкового значення, від поточного чи від іншої величини. Фраза «на 20% більше, ніж…» вказує, що базою є згадана величина.

Якщо ви помічаєте, що регулярно робите одну з цих помилок, відпрацюйте її окремо: складіть 5–7 подібних задач і розв’яжіть, промовляючи кожен крок. Це значно швидше, ніж проходити всю тему заново.

Коротко про головне

• Відсотки зводяться до формули частина = (p/100) × ціле; залежно від невідомого змінюйте формулу або використовуйте пропорцію.
• Збільшення на p відсотків — це множення на (1 + p/100), зменшення — на (1 - p/100); при послідовних змінах множники перемножуються, а не додаються.
• Пряма пропорційність має сталий частку, обернена — сталий добуток; перед складанням пропорції визначте характер зв’язку.
• Графіки читайте уважно: спочатку осі та масштаб, потім координати точок і нахил лінії.
• Використовуйте покроковий алгоритм: прочитати, визначити тип, записати співвідношення, розв’язати, перевірити.
• Уникайте типових пасток: додавання відсотків, заокруглення на проміжних етапах і неуважне читання одиниць вимірювання.