Математичний мінімум випускника: формули, які мають бути в голові

Математичний мінімум випускника — це не просто набір формул, які можна переписати в довідник. Це ті інструменти, які мають спрацьовувати майже автоматично, щоб під час НМТ не витрачати час на виведення очевидного. У цій статті зібрано саме робочі формули: без екзотики, але з поясненням, у якій ситуації кожна з них реально економить хвилини.

Матеріал структуровано за тематичними блоками: арифметика, алгебра, геометрія, функції, комбінаторика та ймовірність, тригонометрія з логарифмами. У кожному розділі є приклад застосування й типова помилка, яка найчастіше з’являється в роботах випускників. Наприкінці — короткий чек-лист для самоперевірки.

1. Арифметика і базові перетворення

Тут ідеться про те, що не завжди сприймають як «формули», але саме на цих діях тримається половина розв’язань. Для дробів головне — нагадати, що додавати й віднімати можна лише після зведення до спільного знаменника. Множити дроби простіше: чисельник на чисельник, знаменник на знаменник; ділити — множити на обернений дріб. Якщо в завданні є складний дріб, спочатку розберіть його на прості кроки.

Відсотки — це завжди дріб від числа. Щоб знайти, скільки становить p% від A, множать A на p/100. Щоб обчислити, на скільки відсотків змінилася величина, ділять різницю на початкове значення та множать на 100. Типова помилка: послідовні зміни відсотків не додаються. Якщо ціну спочатку збільшили на 20%, а потім зменшили на 20%, результат не буде початковим, бо відсоток на другому кроці береться від уже зміненого числа.

Степені й корені — це ще один базовий інструмент. Основні властивості: a^m · a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(mn), a^0 = 1, a^(-n) = 1/a^n. Для коренів: √(ab) = √a · √b (для невід’ємних a і b), а √(a/b) = √a / √b. Найпоширеніша помилка — плутати множення степенів з піднесенням степеня до степеня: a^2 · a^3 = a^5, а не a^6.

2. Алгебра: рівняння, нерівності, системи

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0 розв’язують через дискримінант D = b² – 4ac. Корені: x = (-b ± √D) / (2a). Якщо D > 0 — два різні корені, D = 0 — один корінь, D < 0 — дійсних коренів немає. Формулу варто знати напам’ять, щоб не виводити її щоразу через виділення повного квадрата, особливо коли часу обмаль.

Теорема Вієта дає швидкий спосіб перевірити корені: для зведеного рівняння x² + px + q = 0 сума коренів дорівнює -p, а добуток — q. Для загального рівняння ax² + bx + c = 0 сума коренів становить -b/a, добуток — c/a. Ця формула рятує, коли корені очевидні, але є сумнів у знаку.

Формули скороченого множення — це ключ до спрощення виразів. Найважливіші з них зібрано в таблиці.

Нерівності вимагають особливої уваги: якщо обидві частини множать або ділять на від’ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний. У системах рівнянь найчастіше використовують метод підстановки або додавання; орієнтуйтеся, який саме дає простіші коефіцієнти. Типова помилка — втратити один з розв’язків при підстановці, коли виражають змінну через іншу зі знаменником.

3. Геометрія: трикутники, кола, площі

Теорема Піфагора — перше, що спадає на думку, коли йдеться про прямокутний трикутник: c² = a² + b², де c — гіпотенуза. Вона працює лише для прямокутних трикутників, тому перед застосуванням переконайтеся, що прямий кут справді є. Наприклад, у трикутнику зі сторонами 3, 4, 5 гіпотенузою буде 5, бо 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Типова помилка — підставити в ролі гіпотенузи меншу сторону.

Формули площ трикутника треба знати у трьох варіантах: S = 1/2 · a · h, де a — сторона, h — висота до неї; S = 1/2 · ab · sin γ, де γ — кут між сторонами a і b; і формула Герона S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)), де p = (a + b + c)/2. Кожна з них зручна у своїй ситуації: якщо дано висоту — перша, якщо кут — друга, якщо всі три сторони — третя.

Площі інших фігур: прямокутник S = a · b, паралелограм S = a · h, трапеція S = (a + b)/2 · h, коло S = πr², довжина кола C = 2πr. У задачах на подібність пам’ятайте: якщо лінійні розміри змінюються в k разів, то площі — у k² разів, а об’єми — у k³ разів. Це дозволяє швидко відповідати на питання про масштаб, не обчислюючи всі сторони заново.

4. Функції та графіки

Лінійна функція y = kx + b має графік — пряму, де k відповідає за нахил, а b — за точку перетину з віссю y. Якщо k > 0, функція зростає; якщо k < 0 — спадає. Для квадратичної функції y = ax² + bx + c важливо знати координати вершини параболи: x = -b / (2a), y підставляють у формулу функції. Знак коефіцієнта a визначає, куди спрямовані вітки: догори при a > 0, донизу при a < 0.

Показникова функція y = a^x, де a > 0 і a ≠ 1, завжди додатна; її графік проходить через точку (0; 1). Логарифмічна функція y = log_a x визначена лише для x > 0. Це обмеження часто перевіряють у завданнях: якщо під логарифмом з’являється нуль або від’ємне число, такий вираз не має змісту в дійсних числах.

Перетворення графіків варто знати не гірше, ніж самі формули функцій, адже завдання часто будують саме на зсувах і розтягах.

• y = f(x) + a — зсув графіка на a одиниць угору (якщо a > 0) або вниз (якщо a < 0).
• y = f(x + a) — зсув на a одиниць ліворуч при a > 0 і праворуч при a < 0 (зверніть увагу: знак всередині дужки працює «навпаки»).
• y = k · f(x) — вертикальний розтяг/стиск: при |k| > 1 графік розтягується, при 0 < |k| < 1 — стискається.
• y = f(kx) — горизонтальний стиск/розтяг: при |k| > 1 графік стискається до осі y, при 0 < |k| < 1 — розтягується.

Типова помилка — переплутати напрямок зсуву вздовж осі x. Наприклад, графік y = (x – 3)² — це парабола, зсунута на 3 одиниці праворуч, а не ліворуч.

5. Комбінаторика і ймовірність

У комбінаториці основні формули стосуються перестановок, розміщень і комбінацій. Число перестановок n елементів: n! = 1 · 2 · … · n. Число розміщень з n по k (порядок важливий): A(n, k) = n! / (n – k)!. Число комбінацій з n по k (порядок неважливий): C(n, k) = n! / (k! · (n – k)!). Ключове питання, яке треба поставити собі: чи впливає порядок вибору на результат? Якщо так — це розміщення, якщо ні — комбінація.

У теорії ймовірностей для рівноможливих подій ймовірність обчислюють як P(A) = m / n, де m — кількість сприятливих наслідків, n — загальна кількість можливих наслідків. Якщо події несумісні, ймовірність настання хоча б однієї з них дорівнює сумі ймовірностей. Для незалежних подій ймовірність одночасного настання дорівнює добутку ймовірностей.

Типова помилка — додавати ймовірності подій, які можуть настати одночасно. Наприклад, імовірність витягнути з колоди карту червоної масті або картинку не дорівнює сумі ймовірностей, бо серед картинок є червоні. У таких випадках використовують формулу P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

6. Тригонометрія, степені та логарифми

Тригонометричні формули базового рівня — це передусім основна тотожність sin²α + cos²α = 1, визначення тангенса tan α = sin α / cos α, а також значення синуса, косинуса і тангенса для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Корисно пам’ятати перехід між градусами й радіанами: π радіан = 180°. У задачах на трикутники застосовують теорему синусів a / sin α = b / sin β = c / sin γ і теорему косинусів c² = a² + b² – 2ab cos γ.

Властивості степенів уже згадано в арифметиці, але тут вони працюють разом із логарифмами. Основні тотожності логарифмів такі:

• log_a (xy) = log_a x + log_a y
• log_a (x / y) = log_a x – log_a y
• log_a (x^n) = n · log_a x
• a^(log_a x) = x
• log_a b = log_c b / log_c a (формула переходу до іншої основи)

Найпоширеніша помилка — переносити властивість додавання на суму чи різницю під логарифмом: log_a (x + y) не дорівнює log_a x + log_a y. Аналогічно log_a (x – y) не можна розкласти. Перед перетворенням логарифмів перевірте, чи під знаком логарифма стоїть добуток, частка або степінь.

Коротко про головне

• Арифметичні дії з дробами, відсотками, степенями й коренями мають бути автоматичними.
• Формули скороченого множення, дискримінант і теорема Вієта — головний алгебраїчний мінімум.
• У геометрії тримайте в голові теорему Піфагора, формули площ трикутника, кола та подібність.
• Для функцій знайте зсуви графіків, формулу вершини параболи та обмеження логарифмічної функції.
• У комбінаториці розрізняйте розміщення та комбінації за критерієм порядку.
• У ймовірності не додавайте ймовірності сумісних подій без поправки на перетин; для логарифмів не розкладайте суму.