Геометрія на НМТ: теореми, формули та типові задачі

Геометрія на НМТ — це не окремий предмет і не окремий блок, а складова тесту з математики. У завданнях перевіряють не вміння доводити теореми, а здатність побачити знайому фігуру в умові, правильно вибрати формулу й виконати обчислення. Найчастіше потрібно знайти довжину відрізка, величину кута, площу або об’єм. Рідше трапляються задачі на порівняння чи встановлення відповідності між фігурами та їхніми властивостями.

Цей матеріал зібрано як робочий довідник для швидкого повторення. У ньому немає повного курсу шкільної планіметрії і стереометрії, але є перелік головного, що найчастіше з’являється в тесті. Після кожного розділу варто розв’язати кілька задач із відкритих тренувальних тестів або демонстраційних варіантів поточного навчального року.

Спершу розглянемо, як геометрія представлена в НМТ, далі — теореми, формули, типові задачі та помилки. Наприкінці подано орієнтовний план повторення на чотири тижні і короткий чек-лист для фінальної самоперевірки.

1. Як геометрія представлена в НМТ

Геометричні завдання в тесті з математики можуть стосуватися як плоских фігур, так і просторових тіл. Частина умов супроводжується рисунком, частина подається лише текстом — тоді рисунок потрібно зробити самостійно. Найчастіше в умові є всі необхідні числові дані, але іноді одне значення потрібно виразити через інше, наприклад знайти радіус через діаметр або висоту через площу.

На відміну від шкільної контрольної, тут не вимагають записувати доведення. Однак знати суть теорем потрібно: без розуміння, чому вписаний кут, що спирається на діаметр, дорівнює 90°, ви не впізнаєте цю конструкцію в задачі. Тому під час повторення звертайте увагу не лише на формулу, а й на типові ситуації, у яких вона виникає: паралельні прямі, коло, прямокутний трикутник, рівнобедрений трикутник.

Геометрія в НМТ не оцінюється окремим балом, тому слабке місце в ній може знизити загальний результат із математики. Це не привід панікувати, але причина закласти час на систематичне повторення. Найкраще будувати підготовку так: спочатку закрийте базові прогалини в планіметрії, потім переходьте до стереометрії й лише тоді розв’язуйте змішані тести.

2. Планіметрія: головні теореми та формули

Трикутники

Прямокутний трикутник — найчастіший герой геометричних задач. Теорема Піфагора (a² + b² = c²) дає змогу знайти третю сторону, якщо відомі дві інші. Корисно пам’ятати співвідношення сторін у трикутнику з кутами 30°, 60°, 90°: катет навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи, а навпроти кута 60° — половині гіпотенузи, помноженій на √3. У трикутнику з кутами 45°, 45°, 90° катети рівні, а гіпотенуза дорівнює катету, помноженому на √2.

Площу трикутника можна знайти кількома способами: через основу та висоту (S = ½ a hₐ), через дві сторони й кут між ними (S = ½ ab sin γ) або через напівпериметр за формулою Герона. Якщо в умові дано дві сторони та кут, завжди перевіряйте, чи цей кут між ними, а не протилежний до однієї зі сторін. Поширена помилка — застосовувати формулу S = ½ ab до довільного трикутника, хоча вона правильна лише для прямокутного, де a і b — катети.

Подібність трикутників виникає, коли є спільний кут і паралельні прямі. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то трикутники подібні, а їхні відповідні сторони пропорційні. Це дозволяє знайти невідомий відрізок через відношення, не обчислюючи всі сторони. Типовий сюжет: у трапеції з основами, що перетинаються діагоналями, утворюються подібні трикутники, і відношення основ дорівнює відношенню відповідних відрізків діагоналей.

Окремо згадайте рівнобедрений трикутник. У ньому кути при основі рівні, а висота, проведена до основи, є одночасно медіаною і бісектрисою. Це дозволяє ділити фігуру на два рівні прямокутні трикутники й використовувати теорему Піфагора для знаходження бічної сторони чи висоти.

Чотирикутники

Для паралелограма запам’ятайте три факти: протилежні сторони рівні й паралельні, протилежні кути рівні, діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Площу паралелограма обчислюють як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони, або як добуток двох суміжних сторін на синус кута між ними. Ромб — паралелограм із рівними сторонами; для нього зручна формула S = ½ d₁ d₂, де d₁ і d₂ — діагоналі.

Прямокутник і квадрат варто розглядати як окремі випадки паралелограма. Діагональ прямокутника знаходять із прямокутного трикутника: d = √(a² + b²). У квадрата діагональ дорівнює a√2, де a — сторона. У трапеції середня лінія дорівнює півсумі основ, а площа — добутку середньої лінії на висоту: S = (a + b)/2 · h. Якщо забути поділити суму основ на 2, результат буде вдвічі більшим, ніж потрібно.

Коло і круг

Центральний кут, який спирається на дугу, удвічі більший за будь-який вписаний кут, що спирається на ту саму дугу. Звідси випливає: вписаний кут, що спирається на діаметр, завжди прямий. Це часто використовують у задачах, де трикутник вписано в коло і одна його сторона є діаметром. Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику, тому радіус, дотична і відрізок від центра до зовнішньої точки утворюють прямокутний трикутник.

Довжина кола C = 2πr, площа круга S = πr². Довжина дуги і площа сектора пропорційні центральному куту: l = πrα/180°, S_сект = πr²α/360° для кута α у градусах. У формулах використовують радіус, тому якщо в умові подано діаметр, спочатку знайдіть радіус, інакше результат вийде помилковим.

3. Стереометрія: об’єми та площі поверхонь

Призма: об’єм дорівнює добутку площі основи на висоту, V = S_осн · h. Для прямокутного паралелепіпеда об’єм V = abc, а квадрат просторової діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів: d² = a² + b² + c². Бічна поверхня прямої призми обчислюється як добуток периметра основи на висоту. Повна поверхня — це бічна площа плюс дві площі основи.

Піраміда: V = ⅓ S_осн · h. Множник 1/3 — найпоширеніша причина помилок, тому що для призми його немає. У правильній піраміді основа — правильний многокутник, а вершина проєктується в його центр. Тоді спочатку знайдіть площу основи, потім висоту, а не шукайте готову «універсальну» формулу. Бічна поверхня піраміди — сума площ бічних граней.

Циліндр: V = πr²h, бічна поверхня S_b = 2πrh. Твірна циліндра дорівнює його висоті. Конус: V = ⅓πr²h, бічна поверхня S_b = πrl, де l — твірна, пов’язана з радіусом і висотою співвідношенням l² = r² + h². Куля: V = 4/3 πr³, площа поверхні S = 4πr². У задачах часто дають діаметр, тому радіус знаходьте одразу.

4. Таблиця ключових формул для швидкого повторення

Цю таблицю зручно тримати перед очима на останньому етапі підготовки. Вона не замінює розуміння, але допомагає швидко освіжити формули перед тренувальним тестом.

Крім цих формул, пам’ятайте про теорему Піфагора та співвідношення в прямокутному трикутнику, які є основою багатьох обчислень.

5. Типові задачі з розв’язанням

Приклад 1. Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу та площу. За теоремою Піфагора c = √(6² + 8²) = √100 = 10 см. Площу шукаємо за формулою S = ½ · 6 · 8 = 24 см². Якщо помилково взяти ½ · 6 · 10, то вийде 30 см² — це неправильно, оскільки кут між катетом 6 і гіпотенузою 10 не прямий.

Приклад 2. Вписаний кут

Центральний кут кола дорівнює 80°. Знайдіть вписаний кут, який спирається на ту саму дугу. Вписаний кут удвічі менший за центральний, тому відповідь: 40°. Типова помилка — переплутати відношення й отримати 160°, проте вписаний кут завжди менший за відповідний центральний, якщо той менший за 180°.

Приклад 3. Циліндр

Радіус основи циліндра 4 см, висота 10 см. Обчисліть об’єм і площу бічної поверхні. V = π · 4² · 10 = 160π см³, S_b = 2π · 4 · 10 = 80π см². Тут поширена помилка — замість 2πrh взяти πr²h для бічної поверхні, але тоді ви знайдете площу основи, а не бічну поверхню.

Приклад 4. Конус

Радіус основи конуса 5 см, твірна 13 см. Знайдіть висоту та об’єм конуса. За теоремою Піфагора h = √(13² − 5²) = √144 = 12 см. Тоді V = ⅓π · 5² · 12 = 100π см³. Якщо забути множник 1/3, отримаєте 300π — це об’єм циліндра з такими самими радіусом і висотою, а не конуса.

6. Найпоширеніші помилки абітурієнтів

• Не зроблено рисунок або зроблено недбало. Без позначення відомих сторін і кутів легко переплутати, яка висота до якої сторони проведена.
• Плутанина між радіусом і діаметром. Якщо в умові дано діаметр 10, а ви підставили його у формулу як радіус, площа круга вийде вчетверо більшою, ніж потрібно.
• Незведені одиниці вимірювання. Якщо одна сторона в метрах, а висота в сантиметрах, площа автоматично буде хибною. Перед обчисленням зведіть усе до однієї одиниці.
• Застосування формули до невідповідної фігури. Наприклад, для конуса і піраміди об’єм має множник 1/3, а для циліндра і призми — ні. Площа трикутника ½ab — лише для прямокутного з катетами a і b.
• Відсутність перевірки здорового глузду. Якщо гіпотенуза вийшла меншою за катет або площа бічної поверхні більшою за площу всієї фігури, у розв’язку є помилка.
• Забування властивості рівнобедреного трикутника. Коли висота в ньому є також медіаною, це дозволяє знайти половину основи і застосувати теорему Піфагора.

7. План повторення геометрії на чотири тижні

Це орієнтовний ритм для тих, хто вже знає основи і хоче систематизувати матеріал. Щодня достатньо 30–40 хвилин на геометрію, але заняття мають бути регулярними.

1. Тиждень 1 — трикутники й чотирикутники. Повторіть теорему Піфагора, співвідношення в прямокутному трикутнику, площі трикутника, паралелограма, трапеції. Розв’яжіть 8–10 задач.
2. Тиждень 2 — коло, круг, подібність. Зосередьтеся на вписаних і центральних кутах, дотичних, властивостях хорд. Додайте задачі на відношення відрізків.
3. Тиждень 3 — стереометрія. Випишіть формули об’ємів і площ поверхонь призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі. Щодня розв’язуйте 3–4 задачі на різні тіла.
4. Тиждень 4 — змішані тести. Працюйте з цілими варіантами у форматі НМТ, фіксуйте помилки й повертайтеся до розділів, де вони виникають.

Не просто перечитуйте формули, а обов’язково розв’язуйте задачі руками. Саме під час власних обчислень виявляються типові прогалини.

Коротко про головне

• Геометрія в НМТ — частина тесту з математики; теореми доводити не треба, але треба впізнавати конструкції.
• Пріоритет: прямокутний трикутник, площі основних фігур, коло, а також об’єми призми, піраміди, циліндра, конуса, кулі.
• Завжди починайте з рисунка і позначення відомих величин.
• Не плутайте радіус і діаметр, множник 1/3 у піраміді й конусі, площу та об’єм.
• Відпрацьовуйте по 5–7 типових задач щодня і фіксуйте, на якому кроці виникає помилка.